运算放大器——噪声说明¶

基于TI《运算放大器电路固有噪声的分析与测量》的分析与理解

运算放大器噪声一般来源于电源噪声、器件噪声、辐射噪声和应力噪声。

对于电源噪声，可以使用PSRR来分析。器件噪声则是运放自身噪声。辐射噪声为外部空间辐射噪声。应力噪声为机械运动造成的扰动。

运放受到的辐射噪声影响往往是串扰，空气中的辐射噪声衰减的很快且需要良好的耦合（天线效应）来接收。串扰一般是高频信号源或脉冲信号源与运放很近，导致信号与运放管脚耦合，引入了干扰。这种情况需要在布板的过程去避免。

应力噪声来自机械振动，造成器件或者管脚的振动，一般情况下不考虑（汽车、航空类需要注意）。

故运放的噪声主要来自电源、器件和运放本身。

根据TI的《OP AMP PERFORMANCE ANALYSIS》[^1]关于直流误差的分析。

可知运放的等效输入误差为：

运放噪声分析——输入误差公式

Vos：运放自身输入失调电压。
IB+、IB-：运放自身输入同相/反相端偏置电流。
Rs+、Rs-：输入同相/反相端等效阻抗，即输入端看过去的阻抗。其值为信号源电阻+输入电阻，再与反馈电阻并联得到等效阻抗。分析时可以将输出接地，信号源短路接地，使用偏置电流作为电源。
enoise：系统等效输入噪声。为运放+外部电阻的等效噪声，包括运放的电压噪声、电流噪声乘以电阻、电阻热噪声。
Vout/Aol：运放开环增益造成的误差[^2]。
Vcm/CMRR：运放共模电压引起的失调电压。
ΔVcc/PSRR：运放供电电源纹波或者跳变引起的失调电压。

首先对噪声进行详细说明，然后仿真分析，最后示例分析总体误差。

运放噪声¶

电阻热噪声¶

约翰逊–奈奎斯特噪声（英语：Johnson–Nyquist noise，也称作热噪声， 约翰逊噪声，或奈奎斯特噪声）是由于热搅动导致导体内部的电荷载体（通常是电子）达到平衡状态时的电子噪声，与所施加电压无关。一般用统计物理推导该噪声被称作波动耗散定理，这里用广义阻抗或广义极化率来表征该介质。

一个理想电阻器的热噪声接近白噪声，也就是功率谱密度在整个频谱范围内几乎是不间断的（然而在极高频时并不如此）。当限定为有限带宽时，热噪声近似高斯分布[^3]。

热噪声的有效值计算公式如下所示。

运放噪声分析——电阻热噪声公式

k：Boltzmann constan玻尔兹曼常数，1.38e-23 J/°K（焦耳每开尔文Kelvin）。
T：绝对温度，单位为开尔文°K。T（开尔文）=273.15°C+T（摄氏度）。
R：阻值，Ω。
Δf：噪声带宽，Hz。

由于电阻热噪声为高斯分布，如下所示。

运放噪声分析——电阻热噪声分布

热噪声的平均值（期望值）μ为0（以x轴的x=0两边对称）。

高斯函数的y轴可以理解为x轴的统计，x轴为热噪声分布。在-3σ-3σ的分布区域中，统计到99.7%的热噪声。由于电阻不存在DC直流源，故标准偏差与有效值相等，即σ=e_rn_oise。电阻热噪声的峰峰值为-3σ~3σ，则e_rn_oise_pp=6σ=6er_n，即热噪声的峰峰值为有效值的6倍，有时使用6.6倍。

常用噪声频谱密度来衡量噪声特性，有电压噪声频谱密度和电流噪声匹配密度，单位分别是V/√Hz和A/√Hz。

电阻的电压噪声频谱密度为：

运放噪声分析——电阻热噪声电压频谱密度公式

热噪声在所有频谱中能量相同，为宽带噪声。

由于噪声频谱密度单位为/√Hz，所以计算有效噪声时，需要先平方，然后对频率求积分，最后再开方得到噪声的电压或电流的有效值。

1/f噪声¶

1/f 噪声来源于半导体的表面缺陷，声功率与器件的偏置电流成正比，并且与频率成反比，这一点与热噪声不同。即使频率非常低，该反比特性也成立，然而，当频率高于数kHz时，关系曲线几乎是平坦的。1/f 噪声也称为粉红噪声，因为其权重在频谱的低端相对较高。

1/f 噪声主要取决于器件几何形状、器件类型和半导体材料，因此，要创建其数学模型极其困难，通常使用各种情况的经验测试来表征和预测1/f噪声^7。

运放本身的噪声在低频区域为1/f噪声（又称“闪烁噪声”或“粉红噪声”），其频谱密度以1/f的速率下降。如下图所示。

1/f噪声的噪声频谱密度为：

则1/f噪声的有效值为：

k为fc处的噪声值，k’为fl处噪声值。

上式表明，噪声频谱密度或有效值，其常系数为某频率处的值与该频率的开方，变量为1/f的开方

那么，取f=1Hz处的噪声值k‘’，则：

可见使用1Hz处的噪声值计算更简单。

白噪声¶

运放的1/f噪声后面的区域为平坦区域，称为“白噪声”，其值与电阻热噪声类似为在一定频率范围内为常数。其噪声频率密度和有效值分别为：

1/f噪声和白噪声如下图所示。截止频率可以近似为1/f曲线在fl处的切线与通带噪声的延长线的交点。

由于测量时实际中存在滤波效应，则实际的BW需要乘以系数。这里，只需记住一阶滤波器系数为1.57（Π/2），二阶为1.22。即最终的通带噪声有效值为：

由于fh的值会趋于很大，往往需要根据增益单宽积来计算系统闭环增益带宽，而该带宽才是实际使用时的带宽BW=GBW/Acl=（fcl-0）=fcl，此时fh=fcl（fcl为闭环增益为0dB时的频率）。

比较1/f噪声和白噪声，使用η表示1/f噪声与白噪声的比：

假如a=10，即fc=10fl（比如fl=1Hz，fc=10Hz），b=10，则：

η=0.4，其站总噪声的0.4/1.4=28%。假设通带噪声为en，则1/f噪声为0.4en，则有1/f噪声时的总噪声为1.08en，1/f噪声对通带噪声贡献了8%的增幅，可见一般情况下1/f噪声可以忽略，其对于通带噪声的影响很小。

运放噪声推导¶

使用《MT-049_cn》^5说明噪声的计算。

上图对于同向和反向，噪声模型都是一样的，噪声增益都是一样。

Vn为输入电压噪声，IN+为同向端电流噪声（不是失调电压和偏置电流）。前者直接造成un有误差，后者噪声up有误差。

注意：输入电压噪声和输入电流噪声均有1/f噪声区域和BW（白噪声或通带）区域，两者的RMS为1/f噪声和BW噪声的平方和的开方。

输入电压噪声和输入电流噪声来源于整个闭环带宽内的噪声，分为1/f噪声区域和通带噪声区域。

根据分析，可知1/f噪声贡献率较低，可以忽略，故可以只计算通带内的噪声。

反馈环路上的电阻热噪声，单独拿出来分析，将VNR3、IN±、VN都去掉。可得如下电路。

运放为理想运放，“虚短，虚断”。un=up=VA=0V，In=Ip=0A。则

而理想情况下，输出Vout应该为0，所以由R1和R2产生得输出误差就是上式中得Vout。由于V1和V2为热噪声电压为独立信号，故Vout的幅值平方为：（这里可以在A或B端加任意输入信号Vin，然后计算理想无噪声情况下的输入与输出关系，计算有噪声信号输入与输出关系，两者Vin的差值为噪声产生的在Vin端的误差信号，也能得到最终结果）