# 运算放大器——噪声说明

> 基于TI《运算放大器电路固有噪声的分析与测量》的分析与理解

运算放大器噪声一般来源于电源噪声、器件噪声、辐射噪声和应力噪声。

对于电源噪声，可以使用PSRR来分析。器件噪声则是运放自身噪声。辐射噪声为外部空间辐射噪声。应力噪声为机械运动造成的扰动。

运放受到的辐射噪声影响往往是串扰，空气中的辐射噪声衰减的很快且需要良好的耦合（天线效应）来接收。串扰一般是高频信号源或脉冲信号源与运放很近，导致信号与运放管脚耦合，引入了干扰。这种情况需要在布板的过程去避免。

应力噪声来自机械振动，造成器件或者管脚的振动，一般情况下不考虑（汽车、航空类需要注意）。

故运放的噪声主要来自电源、器件和运放本身。

根据TI的《OP AMP PERFORMANCE ANALYSIS》[^1]关于直流误差的分析。

![](https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/image-20220717010313765.png)

可知运放的等效输入误差为：

![运放噪声分析——输入误差公式](https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BE%93%E5%85%A5%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F.png)

- Vos：运放自身输入失调电压。
- IB+、IB-：运放自身输入同相/反相端偏置电流。
- Rs+、Rs-：输入同相/反相端等效阻抗，即输入端看过去的阻抗。其值为信号源电阻+输入电阻，再与反馈电阻并联得到等效阻抗。分析时可以将输出接地，信号源短路接地，使用偏置电流作为电源。
- enoise：系统等效输入噪声。为运放+外部电阻的等效噪声，包括运放的电压噪声、电流噪声乘以电阻、电阻热噪声。
- Vout/Aol：运放开环增益造成的误差[^2]。
- Vcm/CMRR：运放共模电压引起的失调电压。
- ΔVcc/PSRR：运放供电电源纹波或者跳变引起的失调电压。

首先对噪声进行详细说明，然后仿真分析，最后示例分析总体误差。

## 运放噪声

### 电阻热噪声

**约翰逊–奈奎斯特噪声**（英语：Johnson–Nyquist noise，也称作**热噪声**， **约翰逊噪声**，或**奈奎斯特噪声**）是由于热搅动导致导体内部的电荷载体（通常是电子）达到平衡状态时的电子噪声，与所施加电压无关。一般用统计物理推导该噪声被称作波动耗散定理，这里用广义阻抗或广义极化率来表征该介质。

一个理想电阻器的热噪声接近白噪声，也就是功率谱密度在整个频谱范围内几乎是不间断的（然而在极高频时并不如此）。 当限定为有限带宽时，热噪声近似高斯分布[^3]。

热噪声的**有效值**计算公式如下所示。

![运放噪声分析——电阻热噪声公式](https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E7%94%B5%E9%98%BB%E7%83%AD%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F.png)

- k：Boltzmann constan玻尔兹曼常数，1.38e-23 J/°K（焦耳每开尔文Kelvin）。
- T：绝对温度，单位为开尔文°K。T（开尔文）=273.15°C+T（摄氏度）。
- R：阻值，Ω。
- Δf：噪声带宽，Hz。

由于电阻热噪声为高斯分布，如下所示。

![运放噪声分析——电阻热噪声分布](https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E7%94%B5%E9%98%BB%E7%83%AD%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E5%B8%83.png)

热噪声的平均值（期望值）μ为0（以x轴的x=0两边对称）。

高斯函数的y轴可以理解为x轴的统计，x轴为热噪声分布。在-3σ-3σ的分布区域中，统计到99.7%的热噪声。由于电阻不存在DC直流源，故标准偏差与有效值相等，即σ=e_rn_oise。电阻热噪声的峰峰值为-3σ~3σ，则e_rn_oise_pp=6σ=6er_n，即热噪声的峰峰值为有效值的6倍，有时使用6.6倍。

常用噪声频谱密度来衡量噪声特性，有电压噪声频谱密度和电流噪声匹配密度，单位分别是V/√Hz和A/√Hz。

电阻的电压噪声频谱密度为：

![运放噪声分析——电阻热噪声电压频谱密度公式](https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E7%94%B5%E9%98%BB%E7%83%AD%E5%99%AA%E5%A3%B0%E7%94%B5%E5%8E%8B%E9%A2%91%E8%B0%B1%E5%AF%86%E5%BA%A6%E5%85%AC%E5%BC%8F.png)

热噪声在所有频谱中能量相同，为宽带噪声。

由于噪声频谱密度单位为/√Hz，所以计算有效噪声时，需要先平方，然后对频率求积分，最后再开方得到噪声的电压或电流的有效值。

### 1/f噪声

1/f 噪声来源于半导体的表面缺陷，声功率与器件的偏置电流成正比，并且与频率成反比，这一点与热噪声不同。即使频率非常低，该反比特性也成立，然而，当频率高于数kHz时，关系曲线几乎是平坦的。1/f 噪声也称为粉红噪声，因为其权重在频谱的低端相对较高。

1/f 噪声主要取决于器件几何形状、器件类型和半导体材料，因此，要创建其数学模型极其困难，通常使用各种情况的经验测试来表征和预测1/f噪声[^7]。

运放本身的噪声在低频区域为1/f噪声（又称“闪烁噪声”或“粉红噪声”），其频谱密度以1/f的速率下降。如下图所示。

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1/f噪声的噪声频谱密度为：

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE1f%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F.png" alt="运放噪声分析——运放1f噪声公式" style="zoom:50%;" />

则1/f噪声的有效值为：

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE1f%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%9C%89%E6%95%88%E5%80%BC%E5%85%AC%E5%BC%8F.png" alt="运放噪声分析——运放1f噪声有效值公式" style="zoom:50%;" />

k为fc处的噪声值，k’为fl处噪声值。

*上式表明，噪声频谱密度或有效值，其常系数为某频率处的值与该频率的开方，变量为1/f的开方*

那么，取f=1Hz处的噪声值k‘’，则：

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可见使用1Hz处的噪声值计算更简单。

### 白噪声

运放的1/f噪声后面的区域为平坦区域，称为“白噪声”，其值与电阻热噪声类似为在一定频率范围内为常数。其噪声频率密度和有效值分别为：

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1/f噪声和白噪声如下图所示。*截止频率可以近似为1/f曲线在fl处的切线与通带噪声的延长线的交点。*

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由于测量时实际中存在滤波效应，则实际的BW需要乘以系数。这里，只需记住一阶滤波器系数为1.57（Π/2），二阶为1.22。即最终的通带噪声有效值为：

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由于fh的值会趋于很大，往往需要根据增益单宽积来计算系统闭环增益带宽，而该带宽才是实际使用时的带宽BW=GBW/Acl=（fcl-0）=fcl，此时fh=fcl（fcl为闭环增益为0dB时的频率）。

比较1/f噪声和白噪声，使用η表示1/f噪声与白噪声的比：

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假如a=10，即fc=10fl（比如fl=1Hz，fc=10Hz），b=10，则：

η=0.4，其站总噪声的0.4/1.4=28%。假设通带噪声为en，则1/f噪声为0.4en，则有1/f噪声时的总噪声为1.08en，1/f噪声对通带噪声贡献了8%的增幅，可见一般情况下1/f噪声可以忽略，其对于通带噪声的影响很小。

### 运放噪声推导

使用《MT-049_cn》[^5]说明噪声的计算。

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上图对于同向和反向，噪声模型都是一样的，噪声增益都是一样。

**Vn为输入电压噪声，IN+为同向端电流噪声**（***不是失调电压和偏置电流***）。前者直接造成un有误差，后者噪声up有误差。

*注意：输入电压噪声和输入电流噪声均有1/f噪声区域和BW（白噪声或通带）区域，两者的RMS为1/f噪声和BW噪声的平方和的开方。*

输入电压噪声和输入电流噪声来源于整个闭环带宽内的噪声，分为1/f噪声区域和通带噪声区域。

根据分析，可知1/f噪声贡献率较低，可以忽略，故可以只计算通带内的噪声。

反馈环路上的电阻热噪声，单独拿出来分析，将VNR3、IN±、VN都去掉。可得如下电路。

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE%E7%83%AD%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B.png" alt="运放噪声分析——运放热噪声模型" style="zoom:50%;" />

运放为理想运放，“虚短，虚断”。un=up=VA=0V，In=Ip=0A。则

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE%E7%94%B5%E9%98%BB%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%8E%A8%E5%AF%BC.png" alt="运放噪声分析——运放电阻噪声推导" style="zoom:50%;" />

而理想情况下，输出Vout应该为0，所以由R1和R2产生得输出误差就是上式中得Vout。由于V1和V2为热噪声电压为独立信号，故Vout的幅值平方为：（这里可以在A或B端加任意输入信号Vin，然后计算理想无噪声情况下的输入与输出关系，计算有噪声信号输入与输出关系，两者Vin的差值为噪声产生的在Vin端的误差信号，也能得到最终结果）

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE%E7%94%B5%E9%98%BB%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%8E%A8%E5%AF%BC2.png" alt="运放噪声分析——运放电阻噪声推导2" style="zoom:50%;" />

由于噪声增益为1+R2/R1，可以推导出RTO和RTI：

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE%E7%94%B5%E9%98%BB%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%8E%A8%E5%AF%BC3.png" alt="运放噪声分析——运放电阻噪声推导3" style="zoom:50%;" />

可见，热噪声可以等效为反馈电阻热噪声的“并联”，或者说等效为反馈电阻并联结果后的电阻热噪声。

接下来，分析**反相端电流噪声IN-**产生的误差。同样要去掉IN+、VN、R1和R2上的热噪声。如下图所示。

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%8F%8D%E5%90%91%E5%A4%B1%E8%B0%83%E7%94%B5%E6%B5%81%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%A8%A1%E5%9E%8B.png" alt="运放噪声分析——运放反向失调电流噪声模型" style="zoom:50%;" />

运放为理想运放，“虚短，虚断”。un=up=VA=0V，In=Ip=0A。IN-相当于外加的电流源，则

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE%E7%94%B5%E6%B5%81%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%8E%A8%E5%AF%BC1.png" alt="运放噪声分析——运放电流噪声推导1" style="zoom:50%;" />

由于噪声增益为1+R2/R1，可以推导出RTO和RTI：

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE%E7%94%B5%E6%B5%81%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%8E%A8%E5%AF%BC2.png" alt="运放噪声分析——运放电流噪声推导2" style="zoom:50%;" />

可见，反相端电流噪声的等效电阻为反馈电阻的并联。

由于输入电压噪声、输入电流噪声、热噪声都可以使用噪声密度（/√Hz单位）衡量，故可以使用同一个噪声带宽BW。

至此，运放的通带输入噪声电压（RTI）为：

<img src="https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94%E8%BF%90%E6%94%BE%E6%80%BB%E5%99%AA%E5%A3%B0%E6%8E%A8%E5%AF%BC.png" alt="运放噪声分析——运放总噪声推导" style="zoom:50%;" />

*Note：根据上文，已经忽略了1/f噪声。*

计算输入噪声峰峰值，乘以系数6.6或6即可。

对于使用了补偿电容的运放，噪声分析可参考《MT-050_cn》[^6]。

另外，噪声与温度的平方根成正比，而与供电电流的平方根成反比。这也说明了低噪声放大器的静态电流高。

## 仿真分析

首先引用TI现有的例子进行分析。如下图所示。

![运放噪声分析——OPA627噪声仿真](https://mythidea.oss-cn-beijing.aliyuncs.com/%E8%BF%90%E6%94%BE%E5%99%AA%E5%A3%B0%E5%88%86%E6%9E%90%E2%80%94%E2%80%94OPA627%E5%99%AA%E5%A3%B0%E4%BB%BF%E7%9C%9F.png)

OPA627的模型已经建立好，使用外部噪声源模拟运放的电压噪声和电流噪声，1/f和通带噪声都与Datasheet保持一致。仿真结果可知高频区域输出噪声为恒定值，约为320.08uV。

下面计算输出噪声。

已知，通带区域电压噪声为5nV/√Hz,，电流噪声为2.5fA/√Hz，等效电阻约为1kΩ，噪声增益为101，等效带宽BW为16MHz/101*1.57=248kHz，则总噪声为：

RTI=√248k\*√(5n)^2+(2.5f\*1k)^2+4K(273.15+25)\*1k=3.208uV(K为玻尔兹曼常数，1.38e-23 J/°K)。

则RTO=RTI\*101=324uV。

计算结果与仿真结果相差不大。





### Reference

[^1]: [OP AMP PERFORMANCE ANALYSIS](http://www.ti.com/lit/an/sboa054/sboa054.pdf)
[^2]: [运算放大器——参数说明](https://www.mythbird.com/operational-amplifier---parameter-description.html)
[^3]: [约翰逊－奈奎斯特噪声](https://www.beichengjiu.com/physics/170740.html)

[^4]: [MT-048](https://www.analog.com/media/en/training-seminars/tutorials/MT-048.pdf)
[^5]: [MT-049_CN](https://www.analog.com/media/cn/training-seminars/tutorials/MT-049_cn.pdf)
[^6]: [MT-050_CN](https://www.analog.com/media/cn/training-seminars/tutorials/MT-050_cn.pdf)
[^7]: [五种常见的电源噪声](https://rohm.eefocus.com/article/id-1524)
[^8]: [运算放大器的关键指标详解二（噪声）](https://blog.csdn.net/sinat_15677011/article/details/106268473)