运算放大器稳定性分析——稳定性分析
为什么极点/零点处增益变化3dB，相位变为90°？
以简单的低通RC电路为例，增益为A=Zc/(Zc+R)，Aol=20lgA。
s域中定义了零极点，可见有极点，为-1/RC。
分析幅频特性w：+0->+∞的情况：
w=0时，|C|=1=0dB，Θ=-arctang(0)=0°
w=1/RC时，|C|=0.707=-10lg2(dB)=-3dB，即增益降低到0.707倍（即-3dB），Θ=-arctan1=-45°
w=+∞时，|C|=0=-∞dB。Θ=-arctan(+∞)=-90°
以w的10倍分析：
w=1/10RC，1+(wRC)^2=1.01，则|C|=0.995=-0.043dB，Θ=-arctang(0.1)=-5.7°
w=1/RC，1+(wRC)^2=2，则|C|=0.707=-3dB，Θ=-arctang(1)=-45°
w=10/RC，1+(wRC)^2=101，则|C|=0.0995=-20dB，Θ=-arctang(10)=84.3°
w=100/RC，1+(wRC)^2=10001，则|C|=0.00995=-40dB，Θ=-arctang(100)=89.4°
w=1000/RC，1+(wRC)^2=1000001，则|C|=0.000995=-60dB，Θ=-arctang(1000)=89.9°
由上可知，在极点处前后10倍频，幅度降低3dB，相位变化为前后约45°。从相位上看，由于相位纵坐标为度数，所以前10倍频（0.1）平台开始降低45°，到达极点，继续往45°的趋势下降，直到下降了45°后不再下降，变为平台。在进入平台前，遇到零极点，则交点处开始下降45°，直到零极点，然后往45°趋势走，重复上步骤。
对于简单的RC低通电路，来说初始情况下，输出与输入相位相同，起始相位为0°；对于RC高通电路，由于电容作用，起始相位反相为180°。
对于正向放大电路，输出与输入同相，起始相位为0°；对于反向放大电路，输出与输入反相，起始相位为180°。
由于H(jw)=H(s)，计算出的极点刚好与截止频率处一样（截止频率为1/2piRC）。
高通RC电路，则是极点为1/RC，截止频率也是，但是相位变化相反。
故可以通过BODE图（幅频特性），结合幅度变化、相位变化得到极点和零点。
根据控制系统原理，反馈回路可以等效为以下模型。
反馈模型
A为开环增益，F为反馈增益。求得闭环增益为（假定为负反馈）：
当AF=-1时，闭环增益无穷大，系统振荡。
可知，闭环增益≤开环增益。
对于运放来说，运放增益为Aol，反馈增益为β，则公式变为：
环路增益（开环增益）为Aolβ。当Aolβ=1，相位反相时，系统振荡。此时20lg(Aolβ)=0dB，相位变化180°。
当Aol极大（＞10，即20dB）时，Acl≈1/β。
运放的增益与频率成反比关系，频率越高增益越低^1，它们之间的关系是运放的增益带宽积GBP^3。
运放的增益在低频时几乎为常数，穿越-3dB后为增益带宽积。
根据Nyquist判据，闭环传递函数、开环传递函数为：
对于运放来说：G(s)=Aol，H(s)=β，则F(s)=1+Aolβ。其中H(s)为反馈环增益。
Aol为运放本身的增益，可以通过芯片手册上的开环增益曲线估算其Aol(s)，β为反馈增益即输出反馈给输入的信号增益。
以简单的反相放大电路为例，如下图所示。
上图中，1/β做了近似，实际1/β应该为：
由于RF、RI均为正数，故1/β最小为1。假如RF和RI中存在电容，则在BODE图中表现为1/β曲线最小接近0dB，且为正数。
举例，某运放的Aol截止频率为1.59Hz，低频增益为59.03dB=900534倍，1/β=-(1+RF/RI)=-1001，因反相端所以为负号。则开环传递函数为：
使用TI-TINA仿真，结果如下图所示，将其与Matlab仿真结果(程序文件见^4)放一起对比。
负反馈Aolbeita曲线
在10k电阻上并联1uF电容，再次仿真，如下图所示。
负反馈Aolbeita传递函数加极点
开环传递函数为：
负反馈Aolbeita-传递函数
有两个极点，均为负数，系统稳定。观察Nyquist[^5]曲线，如下图所示。
负反馈Aolbeita-Nyquist
顺时针绕（-1,j0）一圈，故Z=P-2N=2-2*1=0（Z为零点，P为极点，N表示顺时针包围-1的半圈数），图上左为整圈有镜像。可见系统稳定。
但是根据TI资料，观察Aol与1/β的ROC(闭合速率)，应该是不稳定，如下图所示。
负反馈Aolbeita-Aol-1_B
ROC（Aol-1/β）=40dB/Decade，为不稳定。
结论矛盾？
观察Aolβ的相位，可见在增益为0dB时，相位裕度只有6.6°，增益裕度为74dB，两者定义见下图。可见相位裕度很低（＜45°），容易导致系统进入不稳定状态。
增益裕度和相位裕度
对于小信号的放大，一般认为在引入深度负反馈的情况下，在整个信号带宽内运放环路稳定，则电路设计没有问题。
对于Aolβ要求在相位为-180时，对应的|Aolβ|<1，其伯德图需要满足一定的增益和相位余量（>45度），见上图。
实际一般需要根据开环增益曲线Aol（由供应商的数据手册提供）和1/β增益曲线
（即噪声增益曲线，取决于反馈环路的设计）的交点判断，该交点决定了所能放大信号带宽,即闭环带宽fcl。
上例中闭环带宽为154.49Hz。
使用脉冲信号进行仿真脉冲响应，结果如下图所示。
可见，系统在启动时会出现阻尼振荡。
因为BODE图（幅频、相位曲线）获取的关于稳定性的判断是相对稳定性，而不是绝对稳定性，Nyquist判据得出的为绝对稳定性。也可以说BODE的不稳定Nyquist可能为稳定，BODE的稳定Nyquist一定是稳定，即BODE图的判断条件范围小于Nyquist。换句话说就是，将BODE图判断不稳定的系统更改为稳定系统，则更改后系统一定稳定。
至此，可以使用BODE图来修正不稳定系统。
环路增益测试
常用的放大电路即为单端输入，上例即使如此。
测试系统稳定性时，只需将环路断开（断开反馈环路即可），变为开环系统，然后输入激励，获取Aol和1/β曲线。如下图所示。
环路增益测试结构
左边，断开输出到反馈的节点；右边断开反馈到输入的节点。环路增益均为：Aolβ=Vy/Vx。
左边：Aol=Vy/VFB，1/β=Vx/VFB
右边：Aol=Vout/Vx，1/β=Vout/Vy
用上例的电路^6分别做两种环路增益仿真，如下图所示。
环路增益测试仿真结果
可见，仿真结果一样。
不加电容补偿时，1/β为直线，电容增加了β极点（1/β零点），BODE图上表现为1/β上翘。
由于Aol为运放固有特性，所以其一直不变，只需要观察1/β曲线即可。对于复杂的电路来说，反馈环路复杂，零极点很多。需要在Aol与1/β交点（Aolβ=0dB，fcl处，闭环穿越频率点）前将1/β拉直。