# 超声——Green函数的应用

物理上描述点源与其所产生的场之间的关系，可以使用Green函数求解。它们统一表示为:

$u(x)=\int\phi(\xi)G(\xi,x)d\xi$



对线性算子L，在点源δ作用下的输出（或响应）就是格林函数G，即：LG=δ。对于

声波波动问题，线性算子为：$L=\frac{\partial^2 }{\partial t^2} -c^2\Delta^2$



格林函数妙处在于若已知格林函数与源分布（包括时间上与空间上），则可通过格林函数与源的卷积求得在此源作用下系统的输出（或响应）。郭敦仁先生曾讲：“从物理上看，一个数理方程表示一种特定的场和产生这种场的源之间的关系（如热传导方程表示温度场和热源的关系），而**格林函数则代表了一个点源所产生的场**。知道了一个点源的场，就可以用叠加的方法算出任意源的场。”[^1]

推导：已知：$L\varphi = Q$，其中 $L$ 是线性算子，$Q$ 为源分布，$\varphi$ 为待求输出。利用卷积的性质，可得：$\varphi = \varphi * \delta = \varphi * (LG) = (L\varphi) * G = Q * G$。(注：卷积的实质就是把所有源的作用都通过积分叠加起来)

已知的是源，G为格林函数，而格林函数无法直接求得。以下不同算子L对应的格林函数：

![](https://pica.zhimg.com/v2-1837b94365db599417ed8127b2ec7f9c_1440w.jpg)



对于自由空间点声源，其相当于球源，但是点声源的半径r<<λ，故声压为：

$p=j\frac{\rho_0C_0kQ}{4\pi r}e^{j(wt-kr)}$

对于自由空间中，从$\overrightarrow{r} $到$\overrightarrow{r_0} $的声压为：

$p(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r_0})=j\frac{\rho_0C_0kQ}{4\pi (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0})}e^{j(wt-k(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0}))}$

上式可以用Green函数表示，其中源函数Q为：$Q=Ae^{jwt}$

可知：$A=j\rho_0C_0kQ$

则声压可表示为：

$p(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r_0})=Q*G=(j\rho_0C_0kQ)e^{jwt}G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r_0})$

其中格林函数G为：

$G(\overrightarrow{r},\overrightarrow{r_0})=\frac{1}{4\pi (\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0})}e^{[-jk(\overrightarrow{r}-\overrightarrow{r_0})]}$



通过豆包AI，推导该格林函数。



## 波动方程的基本形式  

在自由空间中，标量波动方程的一般形式为：  

$$\nabla^2 \varphi - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2} = -Q$$  

对于**单色波（时间谐波）**，假设场量具有时间依赖关系 $\exp(j\omega t)$，即 $\varphi(\vec{r}, t) = \varphi(\vec{r}) \exp(j\omega t)$（$\omega$ 为角频率，$c$ 为光速 ）。代入波动方程，利用 $k = \omega/c$（$k$ 为波数 ），可简化为 **亥姆霍兹方程（Helmholtz equation）**：  

$$\nabla^2 \varphi + k^2 \varphi = -Q$$  

（省略时间因子 $\exp(j\omega t)$，聚焦空间部分分析 ）  

## Green 函数的物理意义  

Green 函数 $G(\vec{r}, \vec{r}_0)$ 描述：**源点 $\vec{r}_0$ 处点源在观察点 $\vec{r}$ 产生的场**。需满足非齐次亥姆霍兹方程：  

$$\nabla^2 G(\vec{r}, \vec{r}_0) + k^2 G(\vec{r}, \vec{r}_0) = -\delta(\vec{r} - \vec{r}_0)$$  

其中 $\delta(\vec{r} - \vec{r}_0)$ 是**三维 Dirac $\delta$ 函数**，表示 $\vec{r} = \vec{r}_0$ 处的点源。  

## 求解 Green 函数的步骤  

### (1) 利用球对称性简化问题  

自由空间具有球对称性，设观察点与源点的相对位置矢量为 $\vec{R} = \vec{r} - \vec{r}_0$，模长 $R = |\vec{r} - \vec{r}_0|$。此时 Green 函数可表示为 $G(R)$（仅与 $R$ 有关 ）。  

球坐标系下，Laplacian 算子 $\nabla^2$ 简化为：  

$$\nabla^2 = \frac{1}{R^2} \frac{d}{dR} \left( R^2 \frac{d}{dR} \right)$$  

代入 Green 函数方程，得到：  

$$\frac{1}{R^2} \frac{d}{dR} \left( R^2 \frac{dG}{dR} \right) + k^2 G = -\delta(R)$$  

###  (2) 分析 $R \neq 0$ 的区域  

当 $R \neq 0$ 时，$\delta(R) = 0$，方程退化为 **齐次亥姆霍兹方程**：  

$$\frac{d^2 G}{dR^2} + \frac{2}{R} \frac{dG}{dR} + k^2 G = 0$$  

这是**球 Bessel 方程**，其通解形式多样。但自由空间中，场需表示为**向外传播的球面波（外行波）**，因此取**推迟势（retarded potential）** 形式：  

$$G(R) = \frac{A}{R} \exp(-jkR)$$  

（$A$ 为待定常数，$\exp(-jkR)$ 描述外行球面波 ）  

### (3) 利用 Dirac $\delta$ 函数确定常数 $A$  

为确定 $A$，需利用 Dirac $\delta$ 函数的积分性质。在包含源点 $\vec{r}_0$（即 $R = 0$ ）的小球（半径 $a$ ）内积分 Green 函数方程：  

$$\iiint_{V} \left( \nabla^2 G + k^2 G \right) dV = \iiint_{V} -\delta(\vec{r} - \vec{r}_0) dV = -1$$  

利用**格林第二恒等式**，左边 Laplacian 项可转换为面积分：  

$$\iiint_{V} \nabla^2 G dV = \oiint_{S} \nabla G \cdot d\vec{S}$$  

（$S$ 为小球表面，$d\vec{S} = a^2 \hat{R} d\Omega$，$\hat{R}$ 为径向单位矢量，$d\Omega$ 为立体角元 ）  

计算梯度 $\nabla G$：  

$$\nabla G = \frac{dG}{dR} \hat{R} = A \left( -\frac{1}{R^2} \exp(-jkR) - \frac{jk}{R} \exp(-jkR) \right) \hat{R}$$  

在小球表面 $S$（$R = a$ ）积分：  

$$\oiint_{S} \nabla G \cdot d\vec{S} = A \oiint_{S} \left( -\frac{1}{a^2} \exp(-jka) - \frac{jk}{a} \exp(-jka) \right) a^2 d\Omega$$  

由于 $\oiint_{S} d\Omega = 4\pi$（立体角积分），且当 $a \to 0$ 时，$\exp(-jka) \approx 1$、$ka \to 0$，上式简化为：  

$$\oiint_{S} \nabla G \cdot d\vec{S} \approx -4\pi A$$  

忽略高阶小量 $k^2 G$（当 $a \to 0$ 时可忽略 ），结合积分方程：  

$$-4\pi A = -1 \implies A = \frac{1}{4\pi}$$  

### (4) 自由空间 Green 函数的形式  

将 $A = \frac{1}{4\pi}$ 代入通解，得到：  

$$G(\vec{r}, \vec{r}_0) = \frac{1}{4\pi |\vec{r} - \vec{r}_0|} \exp\left( -jk |\vec{r} - \vec{r}_0| \right)$$  

## 验证 Green 函数满足波动方程  

### (1) 当 $\vec{r} \neq \vec{r}_0$（$R \neq 0$ ）时  

此时 $\delta(\vec{r} - \vec{r}_0) = 0$，需验证 $\nabla^2 G + k^2 G = 0$。由于求解时已假设 $R \neq 0$ 满足齐次亥姆霍兹方程，因此自然成立。  

### (2) 当 $\vec{r} = \vec{r}_0$（$R = 0$ ）时  

利用 Dirac $\delta$ 函数的定义：  

$$\iiint_{V} \delta(\vec{r} - \vec{r}_0) dV = 1 \quad (\text{若 } \vec{r}_0 \in V)$$  

Green 函数在 $R = 0$ 处的奇异性（$G \propto \frac{1}{R}$ ），保证了方程右边的 $-\delta(\vec{r} - \vec{r}_0)$，验证成立。  

## 总结  

自由空间 Green 函数的推导步骤：  

1. 从波动方程出发，通过**时间谐波假设**简化为亥姆霍兹方程；  

2. 利用**球对称性**将方程降阶为常微分方程；  

3. 求解齐次方程并通过 **Dirac $\delta$ 函数的积分性质** 确定常数；  

4. 验证解满足原始非齐次波动方程。  

最终，自由空间 Green 函数的表达式为：  

$$\boxed{G(\vec{r}, \vec{r}_0) = \frac{e^\left( -jk |\vec{r} - \vec{r}_0| \right)}{4\pi |\vec{r} - \vec{r}_0|}}$$  



## Reference

[^1]: [什么是格林函数(Green's function)](https://zhuanlan.zhihu.com/p/270386992)
[^2]: [格林函数](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%A0%BC%E6%9E%97%E5%87%BD%E6%95%B8)
[^3]: [Green's Function](https://mathworld.wolfram.com/GreensFunction.html)
[^4]: [声波的辐射](https://www.doc88.com/p-991971217745.html)